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题目
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),画出函数f(x)的图象,并求出函数f(x)的解析式.

提问时间:2020-10-06

答案
∵当x≥0时,f(x)=x(1+x)=(x+
1
2
2-
1
4

f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,-x>0,
f(-x)=-x(1-x)=(x-
1
2
2-
1
4
=-f(x),
∴f(x)=-(x-
1
2
2+
1
4

∴f(x)=
(x+
1
2
) 2-
1
4
x≥0
-(x-
1
2
) 2+
1
4
x<0
先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数f(x)的图象,在利用奇函数的定义求出函数f(x)的解析式.

函数奇偶性的性质.

本题考查了奇偶性的应用.若已知一个函数为奇函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切x都有f(-x)=-f(x)成立.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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