题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−

1

2

提问时间：2020-10-05

答案

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y＝−

1

2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-

3

2

x²=0，可得x=0或x=

3

2

，
∴0＜m＜

3

2

时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥

3

2

时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3−

3

2

m2．