题目
已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值范围.
(1)求f(x)的单调区间与极值.
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减函数,求实数a的取值范围.
提问时间:2020-10-05
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
+a−2a2x=−
=-
①当a=0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)上单调递增,函数无极值;
②当a>0,令f′(x)=0,得x1=−
,x2=
,且x1<0<x2,当x∈(0,
)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(
,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x=
时f(x)有极小值为f(
)=ln
;
③当a<0,令f′(x)=0,得x1=−
,x2=
,且x2<0<x1,当x∈(0,−
)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(−
,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x=−
时,f(x)有极小值f(−
)=ln(−
)−
.
(2)由(1)知当a>0,时f(x)在(
,+∞)上单调递减,∴
≤1,得a≥1,当a<0时,f(x)在(−
,+∞)上单调递减,∴−
≤1,得−
≤a<0,
综上得:a的取值范围为[−
,0)∪[1,+∞).
1 |
x |
2a2x2−ax−1 |
x |
(2ax+1)(ax−1) |
x |
①当a=0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)上单调递增,函数无极值;
②当a>0,令f′(x)=0,得x1=−
1 |
2a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
当x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
③当a<0,令f′(x)=0,得x1=−
1 |
2a |
1 |
a |
1 |
2a |
1 |
2a |
1 |
2a |
1 |
2a |
1 |
2a |
3 |
4 |
(2)由(1)知当a>0,时f(x)在(
1 |
a |
1 |
a |
1 |
2a |
1 |
2a |
1 |
2 |
综上得:a的取值范围为[−
1 |
2 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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