题目
设函数f(x)=
1 |
(x+1)ln(x+1) |
提问时间:2020-10-05
答案
(1)f′(x)=-
,
所以当f′(x)>0,即ln(x+1)+1<0,即ln(x+1)<-1,所以x+1<
,即-1<x<
-1,故函数在区间(-1,
-1)内单调递增;
当f′(x)<0,即
-1<x<0或x>0,所以函数在区间(
−1,0)和(0,+∞)内单调减.
故函数的单调增区间为(-1,
-1),单调减区间为(
−1,0)和(0,+∞).
(2)由f′(x)=-
=0可得x=
−1,
由(1)可得f(x)在(-1,
-1)内单调递增,在(
−1,0)内单调减,
所以在区间(-1,0)上,当x=
−1时,f(x)取得极大值即最大值为f(
−1)=-e.
又因为当x从-1的右边靠近-1时,0<x+1<1,所以x→-1时f(x)→-∞;当x从0的左边靠近0时,f(x)→-∞;
所以当x∈(-1,0)时,f(x)∈(-∞,-e].
在区间(0,+∞)上f(x)是减函数,并且f(x)>0,
当x从0的右边靠近0时,f(x)→+∞;当x→+∞时,由函数的解析式可得f(x)→0.
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)∈(0,+∞).
故f(x)的值域为(-∞,-e]∪(0,+∞)
(3)∵-1<x<0,∴0<x+1<1,从而1<
,
由题意可得:
>(x+1)m对任意x∈(-1,0)恒成立,
所以两边取自然对数得:
ln2>mln(x+1)
所以m>
,对x∈(-1,0)恒成立,则m大于
的最大值,
由(2)可得当x∈(-1,0)时,f(x)=
∈(-∞,-e],
所以
取得最大值为-eln2,所以m>-eln2.
所以实数m的取值范围为(-eln2,+∞).
ln(x+1)+1 |
(x+1)2ln(x+1)2 |
所以当f′(x)>0,即ln(x+1)+1<0,即ln(x+1)<-1,所以x+1<
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
当f′(x)<0,即
1 |
e |
1 |
e |
故函数的单调增区间为(-1,
1 |
e |
1 |
e |
(2)由f′(x)=-
ln(x+1)+1 |
(x+1)2ln(x+1)2 |
1 |
e |
由(1)可得f(x)在(-1,
1 |
e |
1 |
e |
所以在区间(-1,0)上,当x=
1 |
e |
1 |
e |
又因为当x从-1的右边靠近-1时,0<x+1<1,所以x→-1时f(x)→-∞;当x从0的左边靠近0时,f(x)→-∞;
所以当x∈(-1,0)时,f(x)∈(-∞,-e].
在区间(0,+∞)上f(x)是减函数,并且f(x)>0,
当x从0的右边靠近0时,f(x)→+∞;当x→+∞时,由函数的解析式可得f(x)→0.
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)∈(0,+∞).
故f(x)的值域为(-∞,-e]∪(0,+∞)
(3)∵-1<x<0,∴0<x+1<1,从而1<
1 |
x+1 |
由题意可得:
1 |
2x+1 |
所以两边取自然对数得:
1 |
x+1 |
所以m>
ln2 |
(x+1)ln(x+1) |
ln2 |
(x+1)ln(x+1) |
由(2)可得当x∈(-1,0)时,f(x)=
1 |
(x+1)ln(x+1) |
所以
ln2 |
(x+1)ln(x+1) |
所以实数m的取值范围为(-eln2,+∞).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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