题目

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：
（Ⅰ）

a

c

的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．

提问时间：2020-10-04

答案

（Ⅰ）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(

1

3

c)2+c2-2•

1

3

c•c•

1

2

=

7

9

c2．
∴

a

c

=

7

3

．
（Ⅱ）cotB+cotC=

cosBsinC+cosCsinB

sinBsinC

=

sin(B+C)

sinBsinC

=

sinA

sinBsinC

，
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得

sinA

sinBsinC

=

1

sinA

•

a2

bc

=

2

3

•

7 9 c2

1 3 c⋅c

=

14

3 3

=

14 3

9

．
故cotB+cotC=

14 3

9

．

（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．
（Ⅱ）对原式进行化简整理得cotB+cotC＝

sinA

sinBsinC

由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．

本题考点：正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握．