题目

（1）已知函数y=f（x）的定义域为R，且当x∈R时，f（m+x）=f（m-x）恒成立，求证y=f（x）的图象关于直线x=m对称；
（2）若函数y=log₂|ax-1|的图象的对称轴是x=2，求非零实数a的值．

提问时间：2020-10-04

答案

（1）证明：设P（s，t）是y=f（x）图象上任一点，则t=f（s），
又P点关于x=m的对称点为P'，则P'（2m-s，t），
由已知f（m+x）=f（m-x）得，f（2m-s）=f（m+（m-s））=f（m-（m-s））=f（s）=t，
即P'在y=f（x）的图象上，
∴y=f（x）的图象关于直线x=m对称；
（2）∵函数y=log₂|ax-1|的图象的对称轴是x=2，
∴log₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，
即|a（2+x）-1|=|a（2-x）-1|恒成立，
即|ax+（2a-1）|=|-ax+（2a-1）|恒成立，
∵a≠0，∴2a-1=0，即a=

1

2

．

（1）设P（s，t）是y=f（x）图象上任一点，P点关于x=m的对称点为P'，运用对称知识求出P'的坐标，说明也在函数f（x）的图象上即可得证；
（2）根据（1）得到log₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，然后由对数知识，去对数符号，整理，由x的任意性和a不为0，即可求出a的值．

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题考查函数的对称性及运用，注意设点求对称点，同时考查恒成立问题，注意转化思想．