题目

边长为整数且面积等于周长的直角三角形个数

提问时间：2020-10-03

答案

设两条直角边为a,b,斜边为c,
则有面积等于ab/2,周长为a+b+c
2ab=（a+b）²-（a²+b²）=（a+b）²-c²（勾股定理）=（a+b+c）（a+b-c）①
所以面积等于ab/2=2ab/4=①/4=（a+b+c）（a+b-c）/4 ②
因为ab/2=a+b+c
所以（a+b+c）（a+b-c）/4 =a+b+c
所以a+b-c/4=1 ,所以a+b-c=4,所以a+b-4=c
因为a²+b²=c²=（a+b-4）²=a²+b²+16-8a-8b+2ab
所以a²+b²=a²+b²+16-8a-8b+2ab ,所以16-8a-8b+2ab =0,全式约掉2得
ab-4a-4b+8=0,两边同时加8,得ab-4a-4b+16=8
左边十字相乘因式分解得（a-4）（b-4）=8
因为边长为整数,所以a-4=1,2,4,8,-1,-2,-4,-8
所以a=5,6,8,12,0,2,0,-4
因为a＞0,a=5,6,8,12,2
所以b=12,8,6,5,（0舍去）,所以a=2也舍去,
所以有两种直角三角形,分别是6,8,10和5,12,13
我打得辛苦,想得辛苦,给点分吧