题目

在数列{an},若a1=2/3,则a(n+1)=1/(n+1)(n+2)通项公式等于
a(n+1)=1/(n+1)(n+2)+an

提问时间：2020-10-02

答案

因为a(n+1)=1/(n+1)(n+2)+an
所以a(n+1)-an=1/(n+1)(n+2)=1/(n+1)-1/(n+2)(裂项)
所以a2-a1=1/2-1/3
a3-a2=1/3-1/4
a4-a3=1/4-1/5
.
an-a(n-1)=1/n-1/(n+1)
叠加得
an-a1=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/n-1/(n+1))=1/2-1/(n+1)
因为a1=2/3
所以an=a1+1/2-1/(n+1)=2/3+1/2-1/(n+1)=7/6-1/(n+1)