题目

若(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是平方数
证明：若非负整数a,b使(a^2+b^2)/(1+a×b)为整数,则它是完全平方数

提问时间：2020-10-02

答案

若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知,x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果xb^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾.证毕.
我尝试了几组
b=0,(a^2+b^2)/(1+ab)=a^2,对任意a命题成立.
b=1,(a^2+1)/(1+a)=1+a-2a/(1+a),如果该式为整数,则1+a必整除2,a=1,此时该式等于1,故命题也成立.
如果b>2,取a=b^3,则(b^8+b^2)/(1+b^4)=b^2
(8^2+2^2)/(1+16)=68/17=4
(27^2+3^2)/(1+81)=738/82=9