当前位置: > 已知函数f(x)=alnx+1/2x2−(1+a)x (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,求实数a的取值范围....
题目
已知函数f(x)=alnx+
1
2
x

提问时间:2020-10-02

答案
(Ⅰ)求导数可得f′(x)=
(x−a)(x−1)
x
(x>0)
(1)a≤0时,令f′(x)<0,可得x<1,∵x>0,∴0<x<1;令f′(x)>0,可得x>1,∵x>0,∴x>1
∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
(2)0<a<1时,令f′(x)<0,可得a<x<1,∵x>0,∴a<x<1;令f′(x)>0,可得x<a或x>1,∵x>0,∴0<x<a或x>1
∴函数f(x)在(0,a),(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减;
(3)a=1时,f′(x)≥0,函数在(0,+∞)上单调递增;
(4)a>1时,令f′(x)<0,可得1<x<a,∵x>0,∴1<x<a;令f′(x)>0,可得x>a或x<1,∵x>0,∴0<x<1或x>a
∴函数f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减;
(Ⅱ)a≥0时,f(1)=-
1
2
-a<0,舍去;
a<0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴函数在x=1处取得最小值,
∵函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,
∴f(1)=-
1
2
-a≥0,可得a≤-
1
2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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