题目

设函数f(x)＝

2

3

x3+

1

2

ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-01

答案

f′（x）=2a²+ax+1，
（Ⅰ）由题意：f′（2）=8+2a+1=0
解得a=-

9

2

．（3分）
（Ⅱ）方程2a²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2a²+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数；
（2）当△>0，即a<-2

2

或a>2

2

时，
要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有2a²+ax+1≥0即可，
设g（x）=2a²+ax+1，
由

g(0)=1>0 - a 2×2 <0

得a>0，所．a>2

2

由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞）．（13分）

（1）先求f′（x）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值．
（2）高次多项式函数的单调性，可以用导数的知识求解，要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有
f′（x）=2a²+ax+1≥0即可，

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，已知函数的单调区间，我们可以研究字母的取值范围．这是逆向思维在解题中的使用．对于此类题，要注意分类讨论思想在解题中的广泛应用．