题目

已知（1+x)^m+(1+2x)^n的展开式中x的系数为11则x^2的系数最小值

提问时间：2020-10-01

答案

显然(1+x)^m的展开式中x的系数为 m,
而(1+2x)^n的展开式中x的系数为 2n,
故m+2n=11,
而(1+x)^m的展开式中x^2 的系数为 m(m-1)/2,
(1+2x)^n的展开式中x^2的系数为 4n(n-2)/2 =2n(n-2),
于是
x^2的系数为m(m-1)/2 + 2n(n-2)
代入m=11-2n,
则
m(m-1)/2 + 2n(n-2)
= (11-2n)(5-n) +2n(n-2)
=4n^2 -25n +55
=(2n- 25/4)^2 +55- (25/4)^2,
解得n=25/8,
但是n必须取整数,
显然在n=3时最接近25/8
所以n=3的时候x^2的系数取最小值,
n=3时,
x^2的系数4n^2 -25n +55=16