题目

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点,（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点,且满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切?若存在,请说出点M的坐标,若不存在,请说明理由
（前两题可以不用说了,只解第三题）

提问时间：2020-09-30

答案

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点,（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点,且满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切?若存在,请说出点M的坐标,若不存在,请说明理由
(1)解析：∵函数f(x)=1/2x^2-x+m的图像经过点A（-3,6）,
f(-3)=9/2+3+m=6==>m=-3/2
∴f(x)=1/2x^2-x-3/2

(2)解析：∵f(x)=1/2x^2-x-3/2
∴B(-1,0),C(3,0),P(1,-2)
设D(x,0)
∵∠DPC=∠BAC
K(AC)=-1,K(AB)=-3,k(DP)=2/(x-1),k(CP)=2/2=1
∠BAC=arctan[(k(AC)-k(AB))/(1+k(AC)k(AB))]=arctan(1/2)
∠DPC=arctan[(k(DP)-k(CP))/(1+k(DP)k(CP))]=arctan((3-x)/(1+x))
(3-x)/(1+x)=1/2==>x=5/3
∴D(5/3,0)

(3)解析：存在点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切
∵A(-3,6),C(3,0),P(1,-2)
直线AC：x+y-3=0
直线PC：x-y-3=0
Y轴：x=0设点M（X0,0）
则点M到直线AC,PC的距离
X0=|x0-3|/√2==>(X0-3)^2=2X0^2==>X0=3√2-3
∴存在点M(3√2-3,0）,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切