题目

若二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，则f（x）的表达式为（　　）
A. f（x）=-x²-x-1
B. f（x）=-x²+x-1
C. f（x）=x²-x-1
D. f（x）=x²-x+1

提问时间：2020-09-30

答案

设二次函数的解析式f（x）=ax²+bx+c
由f（0）=1，得到c=1，则f（x）=ax²+bx+1，
故f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+（2a+b）x+a+b+1，
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，又f（x+1）-f（x）=2x，
∴

2a＝2 a+b＝0

，解得

a＝1 b＝−1

，
∴f（x）=x²-x+1．
故选D

设出二次函数解析式，根据f（0）=1得到c的值，然后把x化为x+1表示出f（x+1），然后把f（x+1）和f（x）代入f（x+1）-f（x）=2x中，根据多项式相等时，各系数相等即可得到a与b的值，然后把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：此题考查学生会利用待定系数法求二次函数的解析式，即先设出函数的解析式，根据题意求出解析式中相应字母的值，再把字母的值代入确定出函数解析式，是一道基础题．