题目

设随机变量X和Y的相关系数为ρxy,求随机变量U=aX+b和V=cY+d的相关系数ρuv.（其中ac>0)
我不明白为什么：
Cov(UV)=E(UV)-E(U)E(V)=acCov(XY)
而不是：
Cov(UV)=E(UV)-E(U)E(V)=acE(XY)+adE(X)+bcE(Y)+bd
求解释.

提问时间：2020-09-30

答案

UV=acXY+adX+bcY+bd
E(UV)=acE(XY)+adEX+bcEY+bd
EU=aEX+b
EV=cEY+d
EU*EV=acEXEY+adEX+bcEY+bd
因此两式相减得
E(UV)=EU*EV
=ac[E(XY)-EXEY]
=ac Cov(XY)