题目
已知函数f(x)=lg(x2-2x+m),其中m∈R,且m为常数.
(1)求这个函数的定义域;
(2)函数f(x)的定义域与值域能否同时为实数集R?证明你的结论.
(3)函数f(x)的图象有无平行于y轴的对称轴?证明你的结论.
(1)求这个函数的定义域;
(2)函数f(x)的定义域与值域能否同时为实数集R?证明你的结论.
(3)函数f(x)的图象有无平行于y轴的对称轴?证明你的结论.
提问时间:2020-09-28
答案
(1)由x2-2x+m>0,且△=4(1-m)
当△>0,即m<1时,x>1+
或x<1-
当△=0,即m=1时,x≠1
当△<0,即m>1时,x∈R
综上,当m>1时,f(x)定义域为R,
当m=1时,f(x)定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
当m<1时,f(x)定义域为(-∞,1-
)∪(1+
,+∞)
(2)由(1)知,要使函数f(x)的定义域为R,须m>1,
要使函数f(x)的值域为R,须△=4-4m≥0,即 m≤1
两者同时成立须
,m无解,即不可能f(x)的定义域与值域能否同时为实数集R.
(3)设存在直线x=a(a≠0),满足f(x)=f(2a-x),
∴lg(x2-2x+m)=lg[(2a-x)2-2(2a-x)+m]
化简得(1-a)(x-a)=0∴a=1
故函数f(x)的图象有平行于y轴的对称轴x=1.
当△>0,即m<1时,x>1+
1-m |
1-m |
当△=0,即m=1时,x≠1
当△<0,即m>1时,x∈R
综上,当m>1时,f(x)定义域为R,
当m=1时,f(x)定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
当m<1时,f(x)定义域为(-∞,1-
1-m |
1-m |
(2)由(1)知,要使函数f(x)的定义域为R,须m>1,
要使函数f(x)的值域为R,须△=4-4m≥0,即 m≤1
两者同时成立须
|
(3)设存在直线x=a(a≠0),满足f(x)=f(2a-x),
∴lg(x2-2x+m)=lg[(2a-x)2-2(2a-x)+m]
化简得(1-a)(x-a)=0∴a=1
故函数f(x)的图象有平行于y轴的对称轴x=1.
(1)根据对数函数的性质即可求这个函数的定义域;
(2)根据对数函数的性质判断函数f(x)的定义域与值域.
(3)根据函数对称性的性质即可得到结论.
(2)根据对数函数的性质判断函数f(x)的定义域与值域.
(3)根据函数对称性的性质即可得到结论.
奇偶函数图象的对称性.
本题主要考查对数函数的图象和性质,综合考查对数函数的定义域,值域,对称性的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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