题目

关于带根号内带根号的计算
有道函数题,在整理结果时,我得到的是（2+√3）/√[（2+√3）²+1²],可答案是（√2+√6）/4.经计算器检验,这两个式子结果相同.可是,怎么由我的结果转换成答案的结果呢?请给出详解,我会追加50分.

提问时间：2020-09-25

答案

思路就是把分母的根号里面的配成完全平方,就能开出来了.
(2＋√3)²＋1²＝4＋4√3＋3＋1＝8＋4√3
由完全平方公式(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²可以看出,带根号的项只能出现在中间项中,而中间项有一个2倍,所以将上式提出2,留下一个2：
(2＋√3)²＋1²＝2(4＋2√3)
再由公式可以看出,中间项有个√3,所以平方项中就有一个√3的平方,即3,所以把4分成1＋3,正好就能凑成完全平方：
(2＋√3)²＋1²＝2(1＋2√3＋3)＝2(1²＋2×1×√3＋√3²)＝2(1＋√3)²
∴(2＋√3)/√[(2＋√3)²＋1²]＝(2＋√3)/√[2(1＋√3)²]＝(2＋√3)/[√2×(1＋√3)]＝(2＋√3)/(√2＋√6)
分母有理化：
原式＝(2＋√3)(√6－√2)/(6－2)＝(2√6＋3√2－2√2－√6)/4＝(√2＋√6)/4