题目

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设g(x)=

2

3

x3-x2，试比较f（x）与g（x）的大小．

提问时间：2020-09-18

答案

（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得

f′(-2)=0 f′(1)=0.

即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解得

a=- 1 3 b=-1.

（2）由（1）得f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，
故f(x)-g(x)=x2e x-1-

1

3

x3-x2-

2

3

x3+x2=x2(ex-1-x)．
令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1．（9分）
令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	0	↗

由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在-2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．
（2）求出f（x）-g（x）的解析式，将差因式分解，构造函数h（x），利用导函数求出h（x）的最小值，判断出差的符号，判断出f（x）与g（x）的大小关系．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0；考查利用导数判断函数的单调性、考查通过导数求函数的最值进一步证明不等式．