题目

函数y=ln(x+1)/(ax+1)在（0,1）上为增函数,求a范围

提问时间：2020-09-18

答案

(1)使函数在（0,1）上有意义的a的取值范围是a≥-1；
(2)求导并整理得：
y'={a[x-(x+1)ln(x+1)]+1}/[(ax+1)²(x+1)]
下面讨论使得 y'≥0 在 （0,1）成立 ,其中(ax+1)²(x+1)＞0,
令f(x)=x-(x+1)ln(x+1),则f'(x)=-ln(x+1)＜0
所以f(x)在定义域单调减,
当a＞0 时,a[1-(1+1)ln(1+1)]+1≥0,解得 0＜a≤1/(2ln2-1)
当a≤0 时,a[0-(0+1)ln(0+1)]+1≥0,解得 a≤0恒成立.
综上,a的取值范围是[-1,1/(2ln2-1)].