题目

两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（　　）
A.

1

sinα

B.

1

cosα

C. sinα
D. 1

提问时间：2020-09-16

答案

如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中

∠ABE＝∠ADF＝α ∠AEB＝∠AFD＝90° AE＝AF

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵

AE

AB

=sinα，
∴BC=AB=

1

sinα

，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×

1

sinα

=

1

sinα

，
故选：A．

首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．

本题考点：菱形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．