题目

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

−g(x)+n

2g(x)+m

提问时间：2020-09-14

答案

（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
∴g（x）=2^x；
（2）由（1）知：f（x）=

−2x+n

2x+1+m

是奇函数．
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即

n−1

2+m

＝0，∴n=1；
∴f（x）=

−2x+1

2x+1+m

，又由f（1）=-f（-1）知

1−2

4 +m

＝−

1− 1 2

1 +m

，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）=

−2x+1

2x+1+2

＝−

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞k-2t²，
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜−

1

3

．