题目

求同时满足下列三个条件的自然数a、b
1、a大于b，2、ab/a+b=169、3、a+b是完全平方数

提问时间：2020-09-09

答案

A = 28730,B = 170
设A+B = M^2
则A = M^2-B
A×B
= 169×(A+B)
= 169×M^2
又有
A×B
=(M^2-B)×B
=M^2×B - B^2
联立即得：
M^2×B - B^2 = 169×M^2
写成关于B的一元二次方程：
B^2 - M^2×B +169×M^2= 0
根据有整数根的条件
(- M^2)^2 - 4×(169×M^2)
=M^4 - 676×M^2
=M^2 × (M^2 -676) ≥ 0
M ≥ 676的平方根
即M ≥ 26.且M^2 -676是一个完全平方数.
解得M = 170.(M = 26时B仅有1解,此时A = B舍弃)
当M = 170时,B的解
= [- (- M^2) ± 根号下M^2 × (M^2 -676) ] / 2
B1 = 28730 ,相应地A1 = 170,A1