题目

函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

提问时间：2020-09-08

答案

（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)＝2ax+2−

1

x

=

2ax2+2x−1

x

，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴

△＝4+8a＞0 x1+x2＝− 1 a ＞0 x1•x2＝− 1 2a ＞0

，
解得−

1

2

＜a＜0，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是−

1

2

＜a＜0．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝

1

x

−2＝

1−2x

x

，
当x∈(0，

1

2

)时，h′（x）＞0，
当x∈(

1

2

，+∞)时，h′（x）＜0．
∴x＝

1

2

时，h（x）_max=ln

1

2

−2＜0，
故x∈（0，+∞），都有

lnx−(2x+1)

x2

＜0，
∴当a≥0时，a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定义域为（0，+∞），知F‘(x)＝2ax+2−

1

x

=

2ax2+2x−1

x

，由F（x）有两个极值点，知方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，由此能求出F（x）有两个极值点的充要条件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝

1

x

−2＝

1−2x

x

，由此能够证明当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．