题目

已知函数Y=f(x)的定义域为x∈R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0时,f(x)＜0恒成立,
证明 ⑴函数Y=f(x)是R上得减函数 ⑵函数Y=f(x)是奇函数.
谁能帮我算一下 我是高一的 谢谢!

提问时间：2020-09-07

答案

（1）
设x10
f(x2)
=f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为对于任意的x>0,恒有f(x)<0
所以由x2-x1>0可得,f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)<0
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数
（2）
f(a+b)=f(a)+f(b)
令a=0,则有
f(0+b)=f(0)+f(b)
f(b)=f(0)+f(b)
f(0)=0
令b=-a
f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(0)=f(a)+f(-a)
0=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)
且函数的定义域是R
所以f(x)是R上的奇函数