题目

已知公差为d的等差数列an,其前n项和为Sn.等比为q的等比数列bn,其前n项和为Tn.已知a1=b1=1,S1+Sn3=T2,a8=b3.（1）求数列an和bn的通项公式.(2)令Cn=anbn,求数列Cn的前n项和Rn.
没打错啊..第二项是3分之Sn

提问时间：2020-09-04

答案

(1) 对等差数列an,有Sn=a1+n*(n-1)d/2=1+n*(n-1)d/2
对等比数列bn,有Tn=b1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)
又a8=a1+7d=1+7d,b3=b1*2q=2q,a8=b3
∴1+7d=2q
由S1+S3=T2,得 1+1+3(3-1)d/2=2+3d=(1-q^2)/(1-q)=1+q
∴q=2+3d => 2q=4+6d=1+7d => d=3,q=11
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*3=3n-2
bn=b1*q^(n-1)=11^(n-1)
(2) Cn=an*bn=(1+3(n-1))*11^(n-1)=11^(n-1)+3(n-1)*11^(n-1)
则Rn=C1+C2+...+Cn
=[11^0+11^1+..+11^(n-1)]+3[0*11^0+1*11^1+...+(n-1)*11^(n-1)]
设Pn=[11^0+11^1+..+11^(n-1)],Qn=[0*11^0+1*11^1+...+(n-1)*11^(n-1)]
则Rn=Pn+3Qn
Pn为等比数列,Pn=1*(1-11^n)/(1-11)=(11^n-1)/10
Qn=[0*11^0+1*11^1+...+(n-1)*11^(n-1)]
11*Qn=11*[0*11^0+1*11^1+...+(n-1)*11^(n-1)]
=[0*11^1+1*11^2+...+(n-2)*11^(n-1)+(n-1)*11^n]
(1-11)Qn=[11^1+11^2+...+11^(n-1)-(n-1)*11^n]
=[(11^1+11^2+...+11^(n-1)+11^n)-n*11^n]
=11*(1-11^n)/(1-11)-n*11^n
=11/10*(11^n-1)-n*11^n
∴Qn=-11/100*(11^n-1)+n/10*11^n
∴Rn=Pn+3Qn
=(11^n-1)/10+3(-11/100*(11^n-1)+n/10*11^n)
=67/100*(11^n-1)+3n/10*11^n