题目

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

7

，a+c=4，求△ABC的面积．

提问时间：2020-08-28

答案

（I）在△ABC中，由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a-c）cosB=bcosC整理得：
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，
∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．
（II）在△ABC中，由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
将b＝

7

，a+c＝4代入整理得ac=3
故S△ABC＝

1

2

acsinB＝

3

2

sin60°＝

3 3

4

．

（1）先根据正弦定理用正弦表示出边，然后代入到已知条件中，再由两角和与差的公式整理可得到cosB的值，最后可得角B的值．
（2）根据余弦定理将b＝

7

，a+c＝4代入求出ac的值，再由三角形的面积公式可求得结果．

本题考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，在求值时经常用到边和角的相互转化，这里一般是用正弦定理．