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题目
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S
3
4
(a2+b2c2)

(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinA+sinB的最大值.

提问时间:2020-08-28

答案
(Ⅰ) 由题意可知
1
2
absinC=
3
4
×2abcosC.
所以tanC=
3

因为0<C<π,
所以C=
π
3

(Ⅱ) 由已知sinA+sinB
=sinA+sin(π-C-A)
=sinA+sin(
3
-A)
=sinA+
3
2
cosA+
1
2
sinA=
3
2
sinA+
3
2
cosA=
3
sin(A+
π
6
)≤
3

当△ABC为正三角形时取等号,
所以sinA+sinB的最大值是
3
(1)根据三角形的面积公式题中所给条件可得S=
3
4
(a2+b2c2)
=
1
2
absinC,可求出tanC的值,再由三角形内角的范围可求出角C的值.
(2)根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示,然后根据两角和的正弦定理可得答案.

余弦定理的应用.

本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能力.

举一反三
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