题目

大学 函数 表达式
已知,f(0)'=1,f(x+y)=f(x)*(e^y)+f(y)*(e^x)
求 f(x)的表达式.

提问时间：2020-08-28

答案

令x=y=0；得f(0)=0;
令y=det（微小量）
f(x+det)=f(x)*(e^det)+f(det)*e^x;
f(x+det)-f(x)=f(x)*(e^det-1)+f(det)*e^x
对等式两边同时除以det并取极限lim（微做变行即可变为导数的形式）
lim[f(x+det)-f(x)]/det=f(x)*lim[(e^(0+det)-e^0)/det]+lim[f(0+det)-f(0)/det]*e^x；
所以f`(x)=f(x)+e^x; 令y=f(x)
y-y`=-e^x; (1)
y(0)=0; (2)
y`(0)=1; (3)
接下来按部就班解微分方程就行了,废话就不多说了,