题目

重复独立实验中的期望
在重复独立实验中,每一次都有可能发生事件A.
设X是实验一直到A发生为止的次数,问：E[X | X>1] = 1 + E[X]

提问时间：2020-08-28

答案

是成立的.
直观上理解这个等式,就是说在第1次实验未发生A之后,仍然平均再需E(X)次实验才会发生A.
即第1次实验的结果并不影响以后的结果.
严格证明的话用以下公式会比较方便(全期望公式的特例):
E(X) = P(X = 1)+P(X > 1)·E(X | X > 1).
公式的简单证明如下:对k > 1,P(X = k) = P(X = k,X > 1) = P(X = k | X > 1)·P(X > 1).
因此E(X | X > 1) = ∑{2 ≤ k} k·P(X = k | X > 1) = ∑{2 ≤ k} k·P(X = k)/ P(X > 1).
于是P(X > 1)·E(X | X > 1) = ∑{2 ≤ k} k·P(X = k).
而E(X) = ∑{1 ≤ k} k·P(X = k) = P(X = 1)+∑{2 ≤ k} k·P(X = k).
即有E(X) = P(X = 1)+P(X > 1)·E(X | X > 1).
注:上述公式并未用到独立重复的条件.
对独立重复实验,我们知道X服从参数P(X = 1)的几何分布,有E(X) = 1/P(X = 1).
又P(X > 1) = 1-P(X = 1),由上述公式得E(X | X > 1) = 1+1/P(X = 1) = 1+E(X).
当然,直接计算E(X | X > 1)也是可行的.