题目

设 f(t)>0且是连续偶函数,又函数F(x)=∫|x-t|f(t)dt定积分上下限为-a、a,x∈[-a,a],讨论F`(x)的单调性.

提问时间：2020-08-28

答案

F(x)=积分（从--a到0）|x--t|f(t)dt+积分（从0到a）|x--t|f(t)dt 第一个做变量替换t==-y再用t代替y
=积分（从0到a）(|x--t|+|x+t|)f(t)dt 故F(x)是偶函数,只需考虑x位于【0,a】区间即可.
=积分（从0到x）(x--t+x+t)f(t)dt+积分（从x到a）(t--x+x+t)f(t)dt
=2x积分（从0到x）f(t)dt--积分（从a到x）2tf(t)dt,
于是F'(x)=2积分（从0到x）f(t)dt是【0,a】上的递增函数,由F'(x)是奇函数知道
F'(x)是【--a,a】上的递增函数.