题目
过椭圆
+
=1内一点M(1,1)的弦AB.
(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
提问时间:2020-08-26
答案
(1)设直线AB的斜率为k,则AB的方程可设为y-1=k(x-1).
得x2+4(kx+1-k)2=16
得(1+4k2)x2+8k(1-k)x+4(1-k2)-16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,
而M(1,1)是AB中点,则
=1.
综上,得
=2,解得k=-
.
∴直线AB的方程为y-1=-
(x-1),即x+4y-5=0.
(2)设弦AB的中点为P(x,y)
∵A,B,M,P四点共线,
∴kAB=kMP
即(-
)•
=
,而x1+x2=2x,y1+y2=2y
∴(-
)
=
,整理,得轨迹方程为x2+4y2-x-4y=0.
|
得(1+4k2)x2+8k(1-k)x+4(1-k2)-16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
8k(k-1) |
1+4k2 |
而M(1,1)是AB中点,则
x1+x2 |
2 |
综上,得
8k(k-1) |
1+4k2 |
1 |
4 |
∴直线AB的方程为y-1=-
1 |
4 |
(2)设弦AB的中点为P(x,y)
∵A,B,M,P四点共线,
∴kAB=kMP
即(-
1 |
4 |
x1+x2 |
y1+y2 |
y-1 |
x-1 |
∴(-
1 |
4 |
2x |
2y |
y-1 |
x-1 |
本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法,(1)由于弦AB过点M(1,1),故我们可设出直线AB的点斜式方程,联立直线与圆的方程后,根据韦达定理(根与系数的关系),我们结合点M恰为弦AB的中点,可得到一个关于斜率k的方程,解方程求出k值后,代入整理即可得到直线AB的方程.(2)设AB弦的中点为P,则由A,B,M,P四点共线,易得他们确定直线的斜率相等,由此可构造一个关于x,y的关系式,整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程.
直线的一般式方程;轨迹方程.
在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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