题目

数列求和问题:1的平方+2的平方+3的平方++++一直加到n的平方的结果是多少,怎样证明?

提问时间：2020-08-25

答案

n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多种,这里就介绍一个我觉得很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
这个方法很好玩吧,看到过吗?