题目

高一数学方程3^x+4^x=5^x的解为

提问时间：2020-08-13

答案

之前的证法是同除了4^x,其实除3^x,5^x都可行.只要让3项中有一项是1就会变得容易一些.
但是,同除4^x是最麻烦的证法.因为除完之后的f(x)的导函数并不是恒正或恒负,
而另外两种证法的导函数就都是恒负的.
下面写一下同除3^x和5^x的证明过程.其实非常相似,但我很无聊就都写了.
就当练练证明题吧.
3^x的：
证明：设f(x)=1+(4/3)^x-(5/3)^x (x∈R)
则f'(x)=(4/3)^x*ln(4/3)-(5/3)^x*ln(5/3) (x∈R).
很容易知道f'(x)恒小于0.
所以f(x)是单调递减函数.并且在R上连续并可导.
取两点1和3,可知f(1)=2/3>0 f(3)=-34/270 f(3)=-34/125