题目

设f(x)是定义域R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=
(1)求证；f(x)是周期函数（2）当x∈【2,4】时,求f(x）的解析式（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2008)

提问时间：2020-08-12

答案

补充题目：
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
1)求证；f(x)是周期函数（2）当x∈【2,4】时,求f(x）的解析式（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2008)
(1)由于f(x+2)=-f(x),
f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
(2)由题设我们知道x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
x∈[2,4]时,4-x∈[0,2],
f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)^2]
f(x)=-(8-2x-16+8x-x^2)
f(x)=x^2-6x+8
(3)由x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2,
得到f(0)=f(4)=f(8)=……=0
f(1)=f(5)=f(9)=……=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=f(6)=f(10)=……0
f(3)=f(7)=f(11)=……-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个值相加,每四个的和为0,所以后2008个的和都为0,所所求=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0