题目

在五面体ABCDE中,O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF平行且等于1/2BC
1.证明FO平行平面CDE
2.设BC=√3CD,证明EO垂直平面CDF

提问时间：2020-08-12

答案

（I）证明：取CD中点M,连接OM．
在矩形ABCD中,OM∥且=1/2BC,又EF∥且=1/2BC,
则EF∥且= OM．连接EM,于是
四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM．
又因为FO不在平面CDE,且EM⊂平面CDE,
∴FO∥平面CDE．
（II）证明：连接FM．由（I）和已知条件,在等边△CDE中,
CM=DM,EM⊥CD且EM= 根号3/2CD=1/2BC=EF．
因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM．
∵CD⊥OM,CD⊥EM,
∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO．
而FM∩CD=M,
所以EO⊥平面CDF．