题目

各边相等的圆内接6边形是正六边形?各角相等的六边形是正六边形?说理由!

提问时间：2020-08-11

答案

各边相等的圆内接6边形是正六边形是正确的
可用基本的三角形全等来证明
即连接圆心O与各顶点A,B,C,D,E,F
可知OA=OB;OB=OC;又因为AB=BC
所以△OAB≌△OBC
同理可得到六个三角形均全等.
然后可以求出,六个角的一半均相等(即如上是∠ABO=∠CBO),
即可以得出六个角均相等.
但各角相等的六边形并不一定是正六边形
这个可以用弧来证明
对圆内接六边形ABCDEF,因为∠A=∠B
所以,弧FEDC=弧AFED （等圆周角对应的弧长相等）
所以,弧FAB=弧ABC （即相等的弧的补部分也相等）
即,弧FA+弧AB=弧BC+弧AB
弧FA=弧BC
FA=BC
同理可证出AB=CD=EF
FA=BC=DE
可知六边形为隔边相等即可满足题意,不一定是正六边形.
其实这是一个基本问题,
对任意这样的多边形,各边相等时,能证出各角相等,为正多边形.
而各角相等时,只能证明出隔边相等.
但显然,如果是奇数边时,能得出相邻两边相等.
证明出是正多边形,而为偶数边时,却只能证明出隔边相等.
所以,各角相等时,如果边为奇数,能证明是正多边形；否则就不能.
圆内接四边形就是这方面典型的例子.
四边相等时,一定为正方形,但四角相等时,却不一定.
比如,圆内接长方形,它是对边相等,其实也是隔边相等.