题目

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

提问时间：2020-08-11

答案

（1）设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，
所以扇形的周长是2r+rθ．依题意，得2r+rθ=πr，
∴θ=π-2=（π-2）×(

180

π

)°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面积为S=

1

2

r²θ=

1

2

（π-2）r²．
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20，
即l=20-2r（0＜r＜10）①
扇形的面积S=

1

2

lr，将①代入，得S=

1

2

（20-2r）r=-r²+10r=-（r-5）²+25，
所以当且仅当r=5时，S有最大值25．此时
l=20-2×5=10，α=

l

r

=2．所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．