题目

求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值
函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.

提问时间：2020-08-10

答案

f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)

当x<2时

f(x)=(2-x)(x-3)(x-4)

     =-x^3+9x^2-26x+24

f'(x)=-3x^2+18x-26

令f'(x)>=0

3-√3/3<=x<=3+√3/3

∵2<3-√3/3

∴(-∞,2)是f(x)的减区间

当x>=2时

f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)

    =x^3-9x^2+26x-24

f'(x)=3x^2-18x+26

令f'(x)>=0

x<=3-√3/3或x>=3+√3/3

∴综上

f(x)的减区间是(-∞,2]和[3-√3/3,3+√3/3]

增区间是[2,3-√3/3]和[3+√3/3,+∞)

x=2和3+√3/3有极小值

f(2)=0

f(3+√3/3)=-2√3/9

x=3-√3/3有极大值

f(3-√3/3)=2√3/9

第二题

函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.

f'(x)=3x^2+6ax+3b

f'(2)=12+12a+3b=0

∴4a+b=-4①

f'(1)=3+6a+3b

图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0

y=-3x-2

∴3+6a+3b=-3

2a+b=-2②

①②联立得

a=-1

b=0

f(x)=x^3-3x^2+c

∴f'(x)=3x^2-6x

令f'(x)>=0

∴x<=0或x>=2

∴f(x)增区间是(-∞,0]和[2,+∞)

减区间是[0,2]

∴x=0有极大值=f(0)=0-0+c=c

x=2有极小值=f(2)=c-4

极大值-极小值

=4

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