题目

100分求通项公式
已知A2=1;A3=3;A4=11
递推:An=(n-1)*A(n-1)+(n-2)*A(n-2)
求{An}通项公式
没有错呀
中文描述就是,第n项=(n-1)乘以第n-1项+(n-2)乘以第n-2项
比如A4=3*A3+2*A2=11
佩服napcat!
其实,我正是在推广错置排列的问题上得到这个递推的,不过我算出来的方法数Bn=(n-1)*A(n-1),也就是说题中的An是一个辅助数列.(因为如果第n个人的帽子戴在i头上,而i的帽子没有戴在n的头上时,方法数应该不是A(n-1))
前面两种思路(特别是第二种)非常好,第三种中间的容斥定理则更是facinating,不知可否劳驾napcat高手稍微具体地说一下用容斥定律计算错置排列的过程.一定再追加100分.

提问时间：2020-08-10

答案

答案：An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法.这个没什么可说.
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n,令 An=n!bn,代入,得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n,b1=0,b2=1/2.
所以,bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!,An=n!bn等于上式.
思路三：这个公式是错置排列的公式.所谓错置排列,有一个通俗的说法.n 个人,每人有一顶自己的帽子.An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目.显然 A1=0 （一个人不可能戴错),A2=1.对n>2的情况,第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上,i=1,2,...,n-1,这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上,则其余 n-2 个人要互相戴错,共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上,此时共有 A(n-1)种戴法.总之,我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)),n>2.而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上,所以必然有An等于上面的数.