题目

不等式（a-4）x²-2（a-4）x+1＞0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-10

答案

因为不等式（a-4）x²-2（a-4）x+1＞0对一切实数x恒成立，
①当a-4=0，即a=4时，有1＞0对一切实数x恒成立，…（2分）
②当a-4≠0时，有

a−4＞0 △＝4(a−4)2−4(a−4)＜0

…（3分）
即：

a＞4 a2−9a+20＜0

，解得4＜a＜5，…（2分）
综上：a的取值范围是[4，5）．…（1分）

当a-4=0，即a=4时，有1＞0对一切实数x恒成立，②当a-4≠0时，根据

a−4＞0 △＝4(a−4)2−4(a−4)＜0

求出a的取值范围，再把这两个a的取值范围取并集，即可得到所求．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．