题目

为什么特征方程可以求数列通项?
数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B。为什么就有a(n)=c*A^n+d*B^n？

提问时间：2020-08-10

答案

数列 {a(n)},设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n),则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B,则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定,下同)
若方程有两等根 A=B,则 a(n)=(c+nd)*A^n
回答者SKY9314 的回答准确来说是以上部分内容的证明过程：
设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即,s+r=p,sr=-q,由韦达定理可知,r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根,也就是刚才说的特征根.
然后进一步证明那个通项公式：
如果r=s,那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列,根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1),
两边同时除以r^(n+1),得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数,说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列.显然等号右边那个就是公差,首项也比较明显,这里不重复了.根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下,并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ,再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ,然后把那个 r 用 A 来代,就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了.
至于那个方程有两个不等的实根的情况,证明起来原理基本一致,就是略微繁琐一点,这里就不多说了,lz自己试试,当成数列练习把~