题目

如图，设点A和B为抛物线y²=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

提问时间：2020-08-10

答案

如图，点A，B在抛物线y²=4px上，
设A(

y2A

4p

，yA)，B(

y2B

4p

，yB)，OA、OB的斜率分别为k_OA、k_OB．
∴kOA＝

yA

y2A 4p

＝

4p

yA

，kOB＝

4p

yB

由OA⊥AB，得kOA•kOB＝

16p2

yAyB

＝−1①
依点A在AB上，得直线AB方程
(yA+yB)(y−yA)＝4p(x−

y2A

4p

)②
由OM⊥AB，得直线OM方程y＝

yA+yB

−4p

x③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以−

x

4p

，
并利用③式整理得

x

4p

y2A+yyA−(x2+y2)＝0④
由③、④两式得
−

x

4p

yAyB−(x2+y2)＝0
由①式知，y_Ay_B=-16p²
∴x²+y²-4px=0
因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．