题目

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE＝

1

2

∠BCD．

（1）求证：BF=EF-ED；
（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）证明：旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，
∴BF=EF-ED；

（2）∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．

（1）旋转△BCF使BC与CD重合，从而根据SAS证得△FCE≌△F′CE，从而可证得结论．
（2）根据等腰三角形的性质可得出∠BAC=∠BCA=50°，∠DEC=∠FEC=∠ECB=70°，从而可得出∠DCE的度数，也就得出了∠BCF的度数，再结合∠BCA=50°即可得出答案．

本题考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质．

考点点评：本题考查旋转的性质等腰梯形的性质及全等三角形的判定及性质，综合性较强，解答本题的关键将△BCF旋转使BC与CD重合，这是本题的突破口．