题目
如图:已知在平面直角坐标系中点A(a,b)点B(a,0),且满足|2a-b|+(b-4)2=0.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)已知点C(0,b),点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动.同时点Q从C点出发,沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动,某一时刻,如图所示且S阴=
S四边形OCAB,求点P移动的时间?
(3)在(2)的条件下,AQ交x轴于M,作∠ACO,∠AMB的角平分线交于点N,判断
是否为定值,若是定值求其值;若不是定值,说明理由.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)已知点C(0,b),点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动.同时点Q从C点出发,沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动,某一时刻,如图所示且S阴=
1 |
2 |
(3)在(2)的条件下,AQ交x轴于M,作∠ACO,∠AMB的角平分线交于点N,判断
∠N-∠APB-∠PAQ |
∠AQC |
提问时间:2020-08-10
答案
(1)∵|2a-b|+(b-4)2=0.
∴2a-b=0,b-4=0,
∴a=2,b=4,
∴点A的坐标为(2,4)、点B的坐标(2,0);
(2)如图2,设P点运动时间为ts,则t>2,所以P点坐标为(2-t,0),Q点坐标为(0,4-2t),
设直线AQ的解析式为y=kx+4-2t,
把A(2,4)代入得2k+4-2t=4,解得k=t-1,
∴直线AQ的解析式为y=(t-1)x+4-2t,
直线AQ与x轴交点坐标为(
,0),
∴S阴影=
(
+t-2)×4+
×
×(2t-4),
而S阴=
S四边形OCAB,
∴
(
+t-2)×4+
×
×(2t-4)=
×2×4,
整理得2t2-7t+4=0,
解得t1=
,t2=
(舍去),
∴点P移动的时间为
s;
(3)
为定值.理由如下:
如图3,∵∠ACO,∠AMB的角平分线交于点N,
∴∠ACN=45°,∠1=∠2,
∵AC∥BP,
∴∠CAM=∠AMB=2∠1,
∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1,
∴45°+2∠1=∠N+∠1,
∴∠N=45°+∠1,
∵∠AMB=∠APB+∠PAQ,
∴∠APB+∠PAQ=2∠1,
∵∠AQC+∠OMQ=90°,
而∠OMQ=2∠1,
∴∠AQC=90°-2∠1,
∴
=
=
.
∴2a-b=0,b-4=0,
∴a=2,b=4,
∴点A的坐标为(2,4)、点B的坐标(2,0);
(2)如图2,设P点运动时间为ts,则t>2,所以P点坐标为(2-t,0),Q点坐标为(0,4-2t),
设直线AQ的解析式为y=kx+4-2t,
把A(2,4)代入得2k+4-2t=4,解得k=t-1,
∴直线AQ的解析式为y=(t-1)x+4-2t,
直线AQ与x轴交点坐标为(
2t-4 |
t-1 |
∴S阴影=
1 |
2 |
2t-4 |
t-1 |
1 |
2 |
2t-4 |
t-1 |
而S阴=
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
2t-4 |
t-1 |
1 |
2 |
2t-4 |
t-1 |
1 |
2 |
整理得2t2-7t+4=0,
解得t1=
7+
| ||
4 |
7-
| ||
4 |
∴点P移动的时间为
7+
| ||
4 |
(3)
∠N-∠APB-∠PAQ |
∠AQC |
如图3,∵∠ACO,∠AMB的角平分线交于点N,
∴∠ACN=45°,∠1=∠2,
∵AC∥BP,
∴∠CAM=∠AMB=2∠1,
∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1,
∴45°+2∠1=∠N+∠1,
∴∠N=45°+∠1,
∵∠AMB=∠APB+∠PAQ,
∴∠APB+∠PAQ=2∠1,
∵∠AQC+∠OMQ=90°,
而∠OMQ=2∠1,
∴∠AQC=90°-2∠1,
∴
∠N-∠APB-∠PAQ |
∠AQC |
45°+∠1-2∠1 |
90°-2∠1 |
1 |
2 |
(1)根据非负数的性质易得a=2,b=4,则点A的坐标为(2,4)、点B的坐标(2,0);
(2)设P点运动时间为ts,则t>2,则P点坐标可表示为(2-t,0),Q点坐标表示为(0,4-2t),用待定系数法确定直线AQ的解析式为y=(t-1)x+4-2t,则可确定直线AQ与x轴交点坐标为(
,0),根据题意得
(
+t-2)×4+
×
×(2t-4)=
×2×4,然后解方程求出t的值;
(3)先根据角平分线定义得∠ACN=45°,∠1=∠2,再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1,然后根据三角形内角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1,所以∠N=45°+∠1,再根据三角形外角性质得∠AMB=∠APB+∠PAQ,即∠APB+∠PAQ=2∠1,接着根据三角形内角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°,利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1,最后用∠1表示式子
中的角,约分即可得到
=
.
(2)设P点运动时间为ts,则t>2,则P点坐标可表示为(2-t,0),Q点坐标表示为(0,4-2t),用待定系数法确定直线AQ的解析式为y=(t-1)x+4-2t,则可确定直线AQ与x轴交点坐标为(
2t−4 |
t−1 |
1 |
2 |
2t−4 |
t−1 |
1 |
2 |
2t−4 |
t−1 |
1 |
2 |
(3)先根据角平分线定义得∠ACN=45°,∠1=∠2,再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1,然后根据三角形内角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1,所以∠N=45°+∠1,再根据三角形外角性质得∠AMB=∠APB+∠PAQ,即∠APB+∠PAQ=2∠1,接着根据三角形内角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°,利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1,最后用∠1表示式子
∠N−∠APB−∠PAQ |
∠AQC |
∠N−∠APB−∠PAQ |
∠AQC |
1 |
2 |
三角形内角和定理;坐标与图形性质;三角形的面积;三角形的外角性质.
本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和是180°.也考查了三角形外角性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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