题目

请教关于圆锥曲线的题目
已知抛物线y2=4x,直线L交抛物线于A（x1,y1),B(x2,y2)两不同点,若L‘是过点M(2,3/2)且垂直于x轴的一条直线是否存在L,使得AB被L'平分,若存在,求出L的斜率的；若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-08-10

答案

【①】易知,直线L’的方程为x=2.
【②】∵弦AB的两个端点A,B均在抛物线y²=4x上.
∴可设坐标A(a²,2a),B(b²,2b).
易知,此时a≠b,否则点A和B重合.
同时,a+b≠0.否则,两点关于x轴对称,此时直线L的斜率不存在.
a≠b,且a+b≠0.∴由斜率公式可知,直线L的斜率k=2/(a+b).
【③】由“中点坐标公式”可知,弦AB的中点P的横纵坐标分别为(a²+b²)/2,(a+b).
【④】由题设“弦AB被直线L′平分”可知,弦AB的中点P必在直线L′：x=2上.
∴a²+b²=4.且同时有-2√2＜a+b＜2√2.即0＜|a+b|＜2√2.
再由基本不等式√[2(a²+b²)]≥|a+b|.及a²≠b²可知,|a+b|＜2√2.
∴应该有0＜|a+b|＜2√2.∴1/|a+b|＞(√2)/4.
∴2/|a+b|＞(√2)/2.
【⑤】由k=2/(a+b)及2/|a+b|＞(√2)/2.可知,|k|＞√2/2.
∴k∈(-∞,- √2/2) ∪(√2/2,+ ∞)
即直线L的斜率k的取值范围是(-∞,- √2/2) ∪(√2/2,+ ∞).