题目

是否存在常数p、q使得x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除？如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由．

提问时间：2020-08-10

答案

假设存在，则说明x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除，
可设另一个因式是x²+mx+n，
∴（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+px²+q，
即有
x⁴+（m+2）x³+（n+2m+5）x²+（2n+5m）x+5n=x⁴+px²+q，
∴

m+2＝0 n+2m+5＝p

且

2n+5m＝0 5n＝q

解上面的方程组，得

m＝−2 n＝5 p＝6 q＝25

，
∴存在常数p、q使得x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除．
故所求p=6，q=25．

假设存在，则说明x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除，可设另一个因式是x²+mx+n，于是有（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+px²+q，可把等式的左边展开并合并同类项，利用等式的对应项相等可得关于m、n、p、q的方程组，解即可，若p、q都是常数，则说明存在，否则就是不存在．

本题考点：整式的除法．

考点点评：本题考查的是整式的除法，可利用乘法是除法的逆运算计算，其实就是待定系数法．