题目

limsin（X-π/3）/1-2cosX在X趋于π/3时的极限怎么求?
注意,不是用罗比达法则之类的,而是用换元方法做的.

提问时间：2020-08-10

答案

不好意思,我把分母看错了.是的,确实是间断点.
要用换元法的话,令x－π/3＝t ,那么 x＝π/3＋t ,x→π/3等价于 t→0
∴ 原极限＝lim( t→0) sint / [1－2cos(π/3＋t)]
分子＝sint
分母用余弦的和角公式展开,分母＝1－2(1/2·cost－√3/2·sint)＝1－cost＋√3·sint
由于你说你们目前还没有学到洛必达法则,那做到这一步之后,只能考虑用极限的四则运算：
分子分母同时除以sint,则分子变为1,分母变为 (1－cost)/sint ＋√3
这时,只要求出(1－cost)/sint 的极限就可以了,
而lim ( t→0) (1－cost)/sint ＝0.5 t² / t ＝ 0.5t ＝0
（上面是对1－cost 和sint 进行等价无穷小替换,1－cost 0.5 t² ,sint t ）
所以原极限＝1/(0＋√3) ＝1/√3
要是你说连 “等价无穷小的替换”都还没有学到,那就没有办法了.要注意的是,在把分母展开后,不能立即用等价无穷小替换,因为,等价无穷小的替换定理,只允许替换 “乘除因子”或者对分子分母整体替换,不允许对加法的某一项进行替换,即便最后结果一样,也会被认为是错误的.