题目

已知抛物线C:y^2=4x的准线与x轴交于M点过M点斜率为k的直线l与抛物线C相交于AB两点
1 F为抛物线C的焦点 若模AM=5/4模AF 求K的值
2 是否存在这样一个K，使得抛物线C上总存在Q，且QA垂直QB若存在请求出K的取值范围

提问时间：2020-08-10

答案

(1)作AH垂直x轴 三角形AMH中
|MH|=A到准线的距离=|AF|
|MH|/|AM|=4/5 得k=tanAMH=3/4
(2)记A(x1,y1)B(x2,y2)Q(a²,2a)
y=k(x+1)与抛物线方程联立得
x1+x2=(4-2k²)/k²
x1x2=1
y1+y2=4/k
y1y2=4
向量QA=(x1-a²,y1-2a)
向量QB=(x2-a²,y2-2a)
由QA*QB=0
(a²+5)(a²+1)k²-8ak-4a²=0
得k=-2a/(a²+5)或2a/(a²+1)
-2a/(a²+5)≥-√5/5
2a/(a²+1)≤1
得-√5/5≤k≤1且k≠0