题目

已知a＞0，函数f（x）=cos²x-asinx+b的定义域为[0，2π]，值域为[-4，0]．试求a，b的值．

提问时间：2020-08-10

答案

f(x)＝(1−sin2x)−asinx+b＝−(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1．
令t=sinx，由x∈[0，2π]得t∈[-1，1]，则y＝f(x)＝−(t+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，
由a＞0得其对称轴t＝−

a

2

＜0，
①当−

a

2

≤−1，即a≥2时，t=1时函数取得最小值，t=-1时函数取得最大值，有

0−a+b＝−4 a+b＝0

，
得a=2，b=-2；
②当−1＜−

a

2

＜0，即0＜a＜2时，t=−

a

2

时，函数取得最大值，t=1时函数取得最小值，有

a2 4 +b+1＝0 b−a＝−4

，
得a=-2或a=-6（舍去）．
∴a=2，b=-2．

通过配方化简函数f（x）=cos²x-asinx+b为：f(x)＝−(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，利用定义域求出函数的最值，然后解出a，b的值．

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：本题考查三角函数的最值，利用三角函数的定义域，求出函数的最值，是解三角函数问题的常用方法，注意函数的值域与定义域的对应关系，配方法是中学数学常用方法．