题目

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像交x轴于ab两点,交y轴于点c,且△abc是直角三角形.请写出符合条件的一个为此函数解析式——————

提问时间：2020-08-10

答案

已知二次函数y＝aX＾2＋bX＋c的图象交x轴于
A．B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,
请写出符合要求的二次函数的解析式.
由简单作图不难发现,满足要求的抛物线与X轴的交点
A和B,必须分置于Y轴的两侧.即方程Y=0的两个根必须异号.
设A(m,0),B(n,0),C(0,C),其中m0,且AC^2+BC^2
=AC^2,即(m^2+c^2)+(n^2+c^2)=(n-m)^2.
即 C^2=-mn,于是c=±√(-mn).(1)
令y=ax^2+bx+c=0,则:
m+n=-b/a.(2)
mn=c/a.(3)
由(1)得mn=-C^2,代入(3)式得-C^2=C/a,
即c(c+1/a)=0,∴c=0(应舍去,否则A,B,C三点中有两点重
合,从而不能构成三角形),或a=-1/c=-1/√(-mn)(此时c=√(-mn))
或a=1/√(-mn)(此时c=-√(-mn)).
于是b=-a(m+n)=(m+n)/√(-mn)(此时c=√(-mn))
或b=-a(m+n)=-(m+n)/√(-mn)(此时c=-√(-mn)).
故得抛物线方程为:
y=[-1/√(-mn)]x^2+[(m+n)/√(-mn)]x+√(-mn)
={[x/√(-m)]+√(-m)}{[-x/√n]+√n}.(4)
或y=[1/√(-mn)]x^2-[(m+n)/√(-mn)]x-√(-mn)
={[x/√(-m)]+√(-m)}[(x/√n)-√n].(5)
例.取m=-2,n=8.则有抛物线:
y=(-1/4)x^2+(3/2)x+4
=(-1/4)(x^2-6x)+4=(-1/4)[(x-3)^2-9]+4
=(-1/4)(x-3)^2+25/4
于是A(-2,0),B(8,0),C(0,4)
AB^2=(8+2)^2=100
AC^2=(-2)^2+4^2=20
BC^2=8^2+4^2=80
AC^2+BC^2=20+80=100=AB^2.
显然,△ABC是直角三角形,C为直角.
因此只要任选m0,代入(4)或(5)就能得到一个满足题目
要求的抛物线方程.